الگوریتمی برای محاسبه وزن‌های تفاضل محدود مبتنی بر هرمیت

تفاوت‌های محدود (‏FD)‏تاریخچه طولانی دارند و برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی (‏ODEs)‏در قرن نوزدهم به کار می‌روند و برای معادلات دیفرانسیل جزیی (‏PDEs)‏در یک مطالعه پیشگام توسط ریچاردسون (‏۱۹۱۱)‏معرفی شده‌اند. در حالت معمول که طرح بندی گره‌ها در بیش از یک بعد مبتنی بر شبکه است، تقریب‌های صریح یک بعدی را معمولا می توان به طور جداگانه در هر جهت فضایی به کار برد. جدول ۱ طرح‌هایی از سه نوع مختلف از استنتاج‌های یک بعدی FD را نشان می‌دهد. در الگوریتم‌های ذکر شده در اینجا، k ترتیب مشتق تقریبی را نشان می‌دهد. این می‌تواند هر عدد صحیح غیر منفی با الگوریتم های k = ۰ باشد که وزن‌های فرمول‌های درون‌یابی را فراهم می‌کند. الگوریتم ۱ هم برای گره‌های همگام و هم غیر همگام مناسب است. این الگوریتم از نظر محاسباتی بسیار سریع است و شامل هیچ مرحله حل خطی (‏بالقوه غیر شرطی)‏سیستم نیست. الگوریتم ۲ (‏در یک زبان نمادین، مانند متمتیکا)‏تنها به دو خط کد نیاز دارد و به فرمت دقیق (‏به جای نقطه شناور)‏وزن می‌دهد. همانطور که در منابع آن ذکر شد، یکی از کاربردهای آن فراهم آوردن وزن برای اکثر کلاس‌های استاندارد روش‌های

<jats:title>Abstract</jats:title>
<jats:p>Finite difference (FD) formulas approximate derivatives by weighted sums of function values. Given arbitrarily distributed node locations in one-dimension, a previous algorithm by the present author (1988, Generation of finite difference formulas on arbitrarily spaced grids. Math. Comput., 51, 699–۷۰۶) provides FD weights of optimal order of accuracy for approximating any order derivative at a specified location. This algorithm is extended here to the case of finding weights to apply not only to function values but also to first derivative values in the case that these also are available. The MATLAB code for the algorithm is provided, and two examples are given to illustrate how this type of FD stencil can be applied to solving partial differential equations.</jats:p>