حل دقیق ارتعاشات طولی میله‌های غیر یکنواخت

هدف این مقاله ارایه راه‌حل‌های تحلیلی دقیق برای ارتعاش طولی میله‌ها با سطح مقطع غیر یکنواخت است. با استفاده از تبدیلات مناسب، معادله حرکت ارتعاش محوری یک میله با سطح مقطع متغیر به معادلات دیفرانسیل استاندارد حل پذیر تحلیلی تبدیل می‌شود که شکل آن‌ها به تغییر مساحت ویژه بستگی دارد. راه‌حل‌ها برای یک میله با تغییر مساحت چند جمله‌ای و یک میله سینوسی به دست می‌آیند. راه‌حل‌ها از نظر توابع ویژه مانند بسل و نیومن و همچنین توابع مثلثاتی به دست می‌آیند. فرمول‌های ساده‌ای برای پیش‌بینی فرکانس‌های طبیعی میله‌های غیر یکنواخت با شرایط انتهایی مختلف ارایه شده‌است. فرکانس‌های طبیعی میله‌های غیر یکنواخت برای این شرایط نهایی محاسبه می‌شوند و وابستگی آن‌ها به تیپر مورد بحث قرار می‌گیرد. معادله حاکم بر مساله مشابه معادله انتشار موج از طریق مجاری با سطح مقطع غیر یکنواخت است. بنابراین راه‌حل‌های ارایه‌شده در اینجا می‌توانند برای بررسی چنین مشکلاتی مورد استفاده قرار گیرند.

The objective of this paper is to present exact analytical solutions for the longitudinal vibration of rods with non-uniform cross-section. Using appropriate transformation, the equation of motion of axial vibration of a rod with varying cross-section is reduced to analytically solvable standard differential equations whose form depends upon the specific area variation. Solutions are obtained for a rod with a polynomial area vibration and for a sinusoidal rod. The solutions are obtained in terms of special functions such as Bessel and Neumann as well as trigonometric functions. Simple formulas to predict the natural frequencies of non-uniform rods with various end conditions are presented. The natural frequencies of non-uniform rods for these end conditions are calculated, and their dependence on taper is discussed. The governing equation for the problem is the same as that of wave propagation through ducts with non-uniform cross-sections. Therefore solutions presented here can be use