روش تفاضل محدود برای معادله بلک شولز بدون شرایط مرزی

ما یک روش تفاضل محدود دقیق و کارآمد برای حل معادله بلک – شولز (BS) ‏بدون شرایط مرزی ارایه می‌کنیم. معادله BS یک معادله دیفرانسیل جزیی سهمی وار رو به عقب برای قیمت‌گذاری اختیار معامله و پوشش ریسک است. هنگامی که معادله BS را به صورت عددی حل می‌کنیم، معمولا به یک شرط مرزی دور از میدان مصنوعی مانند Dirichlet، Neumann، خطی بودن یا شرط مرزی معادله دیفرانسیل جزیی نیاز داریم. با این حال، در این مقاله، ما یک طرح تفاضل محدود صریح را پیشنهاد می‌کنیم که از شرط مرزی دور از میدان برای حل عددی معادله BS استفاده نمی‌کند. ایده اصلی روش پیشنهادی این است که ما یک یا دو نقطه شبکه محاسباتی را کاهش داده و تنها راه‌حل عددی به روز شده را در نقاط شبکه جدید در هر گام زمانی محاسبه می‌کنیم. با استفاده از این روش، ما نیازی به شرایط مرزی نداریم. این روش به این دلیل کار می‌کند که اختیار معامله و محاسبه Greeks از مقادیر در چند نقطه شبکه‌ای همسایه یک نقطه جالب استفاده می‌کنند. برای نشان دادن کارایی و دقت الگوریتم جدید، ما آزمایش‌های عددی مانند قیمت‌گذاری و محاسبه اختیار معامله ساده Greeks، پول نقد یا هیچ چیز، قدرت

We present an accurate and efficient finite difference method for solving the Black–Scholes (BS) equation without boundary conditions. The BS equation is a backward parabolic partial differential equation for financial option pricing and hedging. When we solve the BS equation numerically, we typically need an artificial far-field boundary condition such as the Dirichlet, Neumann, linearity, or partial differential equation boundary condition. However, in this paper, we propose an explicit finite difference scheme which does not use a far-field boundary condition to solve the BS equation numerically. The main idea of the proposed method is that we reduce one or two computational grid points and only compute the updated numerical solution on that new grid points at each time step. By using this approach, we do not need a boundary condition. This procedure works because option pricing and computation of the Greeks use the values at a couple of grid points neighboring an interesting spot.