کامپیوترها و ریاضیات با کاربردها تقریب عددی معادله کسر زمانی بلک – شولز

در این مقاله رابطه زمانی – کسری بلک شولز مورد بررسی قرار می‌گیرد. ما مساله ارزش اولیه را به یک معادله دیفرانسیل انتگرال معادل با یک هسته منفرد ضعیف تبدیل می‌کنیم و از یک روش گسسته سازی انتگرالی برای گسسته سازی زمانی با مش تطبیق یافته استفاده می‌کنیم. یک تحلیل دقیق در مورد هم‌گرایی روش گسسته سازی زمان با توجه به رفتار منحصر به فرد راه‌حل دقیق و هم‌گرایی مرتبه اول با توجه به متغیر زمان اثبات شده‌است. برای غلبه بر نوسان غیرفیزیکی در راه‌حل محاسبه‌شده ناشی از انحطاط عملگر دیفرانسیلی بلک شولز , ما از یک طرح اختلاف مرکزی بر روی یک شبکه یکنواخت تکه‌ای برای گسسته سازی فضایی استفاده می‌کنیم . ثابت شده‌است که این طرح با توجه به متغیر فضایی، پایدار و مرتبه دوم است. آزمایش‌های عددی این نتایج نظری را تایید می‌کنند.

In this paper a time-fractional Black–Scholes equation is examined. We transform the initial value problem into an equivalent integral–differential equation with a weakly singular kernel and use an integral discretization scheme on an adapted mesh for the time discretization. A rigorous analysis about the convergence of the time discretization scheme is given by taking account of the possibly singular behavior of the exact solution and first-order convergence with respect to the time variable is proved. For overcoming the possibly nonphysical oscillation in the computed solution caused by the degeneracy of the Black–Scholes differential operator, we employ a central difference scheme on a piecewise uniform mesh for the spatial discretization. It is proved that the scheme is stable and second-order convergent with respect to the spatial variable. Numerical experiments support these theoretical results.